薛定宇教授大讲堂（卷Ⅴ）：MATLAB微分方程求解

本书是MathWorks图书计划作品。本书凝聚了薛定宇教授30年的MATLAB科研与教学积淀、30年的MATLAB推广与普及经历！其授课视频在爱课程与中国慕课数拥有十万读者学习的视频课程！英文版全球同步发行！

视频公开课： 爱课程或中国大学MOOC（慕课） “现代科学运算——MATLAB语言与应用”“控制系统仿真与CAD”（非严格配套本书视频，仅供读者参考）。

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薛定宇大讲堂系列图书将陆续出版：

薛定宇教授大讲堂（卷Ⅰ）：MATLAB程序设计

薛定宇教授大讲堂（卷Ⅱ）：MATLAB微积分运算

薛定宇教授大讲堂（卷Ⅲ）：MATLAB线性代数运算

薛定宇教授大讲堂（卷Ⅳ）：MATLAB优化计算

薛定宇教授大讲堂（卷Ⅴ）：MATLAB微分方程求解

薛定宇教授大讲堂（卷Ⅵ）：MATLAB/Simulink仿真

本书系统论述了基于MATLAB的微积分方程求解方法，全面介绍了微分方程的解析解求解与数值解求解方法。这包括微分方程的初值问题、延迟微分方程与分数阶微分方程问题，并介绍了基于框图的初值问题求解方法。此外，本书还介绍了微分方程的边值问题与偏微分方程问题的数值求解方法。

本书可作为一般读者学习和掌握微分方程求解的教材或教辅读物，还可以作为高等学校理工科各类专业的本科生和研究生学习计算机数学语言（MATLAB）的教材，并适合作为查询某类数学问题求解方法的工具书。

薛定宇教授： 分别在沈阳工业大学、东北大学和英国Sussex大学获得学士（1985年）、硕士（1988年）和博士学位（1992年），1997年任东北大学信息学院教授。深耕于计算机在数学与自动控制学科的应用，主持了国家精品课程建设，并于1996年在清华大学出版社出版《控制系统计算机辅助设计——MATLAB与应用》，该教材被认为是国内MATLAB应用领域具有深远影响的一部图书，为MATLAB在国内高校教学与科研中的普及起到了巨大的作用。薛定宇教授先后被评为辽宁省教学名师、辽宁省优秀教师，获得国家教学成果二等奖。其主讲的“控制系统仿真与CAD”课程被评为国家精品课程、国家精品资源共享课程；主讲的“现代科学运算——MATLAB语言与应用”课程被评为辽宁省精品资源共享课程，配套录制的全新慕课课程均上线于爱课程与中国慕课网站。

第 1章微分方程简介  1

1.1微分方程建模简介 1

1.1.1电路的建模  1

1.1.2力学问题的建模 3

1.1.3社会系统的建模 3

1.2微分方程发展简史 5

1.3本书主要内容  8本

章习题  9

第 2章常微分方程的解析解  10

2.1一阶微分方程的解析解  10

2.1.1可由简单积分求解的微分方程 11

2.1.2齐次线性方程 11

2.1.3非齐次线性方程 12

2.1.4可分离变量的非线性微分方程 13

2.2特殊函数与二阶线性微分方程  14

2.2.1 Gamma函数  15

2.2.2超几何函数  16

2.2.3 Bessel微分方程  17

2.2.4 Legendre微分方程与 Legendre函数  19

2.2.5 Airy函数  20

2.3常系数线性微分方程的求解  21

2.3.1线性常系数微分方程解析解的数学描述  21

2.3.2基于 Laplace变换的求解方法 22

2.3.3非齐次微分方程的求解  24

2.3.4非零初值的微分方程求解  25

2.4一般微分方程的解析解  27

2.4.1简单微分方程的解析解  27

2.4.2常系数高阶线性微分方程的解析解  29

2.4.3线性时变微分方程的解析解 31

2.4.4线性时变微分方程组的求解 32

2.4.5边值问题的计算机求解  33

2.5线性矩阵微分方程的求解  34

2.5.1线性状态空间方程的解析解 35

2.5.2状态方程的直接求解  36

2.5.3 Sylvester微分方程的求解  37

2.5.4基于 Kronecker乘积的 Sylvester微分方程直接求解  38

2.6特殊非线性微分方程的解析解  39

2.6.1可解的非线性微分方程  39

2.6.2解析解不存在的非线性微分方程  41

本章习题  41

第 3章微分方程的初值问题  45

3.1一阶显式微分方程组的初值问题 45

3.1.1初值问题的数学形式  45

3.1.2初值问题解的存在性与唯一性 46

3.2定步长数值算法与实现  46

3.2.1 Euler算法  47

3.2.2二阶 Runge–Kutta算法  50

3.2.3四阶 Runge–Kutta算法  51

3.2.4 Gill算法  52

3.2.5 m阶 Runge–Kutta算法  53

3.2.6定步长多步算法与实现  56

3.3变步长数值算法与实现  58

3.3.1提高求解效率的措施  58

3.3.2变步长方法简介 59

3.3.3四级五阶 Runge–Kutta变步长算法  60

3.3.4基于 MATLAB的微分方程求解函数  61

 

3.3.5基于 MATLAB的带有附加参数的微分方程求解  65

3.3.6避免附加参数的方法  67

3.4微分方程数值解的验证  68

3.4.1计算结果的验证 68

3.4.2中间计算结果的动态处理  70

3.4.3更高精度的数值计算函数  71

3.4.4计算步长与定步长显示  72

3.4.5高阶非线性微分方程的求解实例  74

本章习题  75

第 4章微分方程的标准型变换  80

4.1单个高阶常微分方程变换方法  80

4.1.1高阶显式微分方程的变换  81

4.1.2时变微分方程的求解方法  84

4.1.3微分方程的奇点 85

4.1.4含有常数参数的状态增广方法 87

4.2复杂高阶微分方程的变换与求解 88

4.2.1含有最高阶导数二次方的微分方程  88

 

4.2.2含有最高阶导数奇数次方的微分方程  90

4.2.3含有最高阶导数的非线性运算 91

4.3高阶常微分方程组的变换  92

4.3.1简单的显式微分方程组  92

4.3.2定步长算法的局限性  98

4.3.3简单的隐式微分方程组  100

4.3.4更复杂的非线性方程组  102

4.4矩阵型微分方程的变换  104

4.4.1矩阵型微分方程的变换与求解 104

4.4.2 Sylvester微分方程  106

4.4.3 Riccati微分方程  107

4.5一类 Volterra积分微分方程的变换  109

本章习题  112

第 5章特殊微分方程  116

5.1刚性微分方程  116

5.1.1线性微分方程的时间常数  117

5.1.2刚性现象  117

5.1.3刚性微分方程的直接求解  119

5.1.4微分方程刚性的检测  122

5.1.5刚性微分方程的定步长求解 126

5.2隐式微分方程  127

5.2.1隐式微分方程的一般数学描述 127

5.2.2隐式微分方程相容初值的变换 129

5.2.3隐式微分方程的直接求解  131

5.2.4多解隐式微分方程的求解  134

5.3微分代数方程  135

5.3.1微分代数方程的一般形式  135

5.3.2微分代数方程的指数类型  136

5.3.3半显式微分代数方程的直接求解  136

 

5.3.4微分代数方程直接求解方法的局限性  139

5.3.5一般微分代数方程的隐式微分方程求解  140

5.3.6微分代数方程的指数降型方法 145

5.4切换微分方程  147

5.4.1线性切换微分方程  147

5.4.2过零点检测与事件设置  148

5.4.3非线性切换微分方程  151

5.4.4不连续微分方程 152

5.5线性随机微分方程 154

5.5.1线性随机微分方程的传递函数 154

5.5.2连续随机系统仿真的误区  155

5.5.3随机线性系统的离散化  156

本章习题  160

第 6章延迟微分方程  164

6.1带有延迟常数的延迟微分方程数值解  164

6.1.1从普通微分方程到延迟微分方程  164

6.1.2零历史函数的延迟微分方程求解  166

6.1.3非零历史函数的延迟微分方程 170

6.2变延迟的微分方程 172

6.2.1变延迟的微分方程模型  172

6.2.2基于时间延迟的延迟微分方程 173

6.2.3基于状态延迟的微分方程  176

6.2.4带有广义延迟的延迟微分方程 177

6.3中立型延迟微分方程的求解  179

6.3.1中立型延迟微分方程  179

6.3.2变延迟中立型微分方程  182

6.4带有延迟的 Volterra积分微分方程  183

本章习题  184

第 7章微分方程的性质与行为  187

7.1微分方程的稳定性 187

7.1.1常系数线性微分方程的稳定性 187

7.1.2 Routh–Hurwitz稳定性判据  189

 

7.1.3 Lyapunov函数与 Lyapunov稳定性  192

7.1.4时变微分方程的自治化  193

7.1.5一般非线性系统的稳定性判定 193

 

7.1.6基于数值仿真的复杂系统稳定性判定  195

7.2微分方程的特殊行为  197

7.2.1极限环  198

7.2.2周期解  201

7.2.3混沌与吸引子 204

7.2.4 Poincaré映射  208

7.3微分方程的线性化近似  210

7.3.1平衡点  210

7.3.2非线性微分方程的线性化  213

7.3.3平衡点的性态 216

7.4微分方程的分岔  217

本章习题  218

第 8章分数阶微分方程 219

8.1分数阶微积分的定义与数值计算 220

8.1.1分数阶微积分的定义  220

 

8.1.2不同分数阶微积分定义的关系与性质  221

8.1.3 Grünwald–Letnikov定义的数值计算  222

8.1.4 Caputo微积分定义的数值计算  223

8.2同元次线性分数阶微分方程的解析解  224

8.2.1 Mittag-Leffler函数  224

8.2.2同元次线性分数阶微分方程 225

8.2.3一个重要的 Laplace变换公式 226

8.2.4基于部分分式展开的解析解方法  227

8.3常系数线性分数阶微分方程的数值求解  231

8.3.1线性方程的闭式解法  231

 

8.3.2 Riemann–Liouville微分方程  233

 

8.3.3 Caputo微分方程  235

8.3.4等效初值的计算 237

8.3.5微分方程的高精度算法  239

8.4非线性分数阶微分方程的求解  242

8.4.1预估方程  243

8.4.2校正求解方法 246

8.4.3隐式 Caputo微分方程的高精度矩阵算法 247

本章习题  249

第 9章常微分方程的框图求解  251

9.1 Simulink必备知识  252

9.1.1 Simulink简介  252

9.1.2 Simulink相关模块  252

9.2微分方程的框图建模思想  254

9.2.1积分器链与关键信号生成  254

9.2.2微分方程的框图描述方法  255

9.2.3微分方程的求解 257

9.2.4算法与参数设定 258

9.3微分方程建模举例 260

9.3.1一般微分方程组 260

9.3.2微分代数方程 263

9.3.3切换微分方程 265

9.3.4不连续微分方程 267

9.3.5延迟微分方程 267

9.3.6非零历史函数的延迟微分方程 269

9.3.7随机微分方程 271

9.4分数阶微分方程的 Simulink求解 272

9.4.1分数阶算子的模块逼近  273

 

9.4.2 Riemann–Liouville分数阶微分方程的建模与求解  274

9.4.3 Caputo导数的模块计算 276

9.4.4 Caputo分数阶微分方程的建模与求解 277

9.4.5分数阶延迟微分方程  279

本章习题  280

第 10章微分方程的边值问题  283

10.1微分方程标准边值问题  283

10.2二阶微分方程两点边值问题的打靶求解  284

10.2.1线性时变方程边值问题的打靶算法  285

10.2.2线性微分方程的有限差分算法  287

10.2.3非线性方程边值问题的打靶算法  289

10.3高阶微分方程两点边值问题  293

10.3.1 MATLAB的直接求解函数 293

10.3.2简单边值问题的求解  294

10.3.3复杂边值条件的描述与求解 298

10.3.4带有待定参数的边值问题  298

10.3.5半无穷区间的边值问题  301

10.3.6带有浮动边值的多解微分方程  302

10.3.7积分微分方程的边值问题  303

 

10.4基于最优化技术的微分方程边值问题求解  304

10.4.1简单边值问题的最优化求解 304

10.4.2隐式微分方程的边值问题  305

10.4.3延迟微分方程的边值问题  308

10.4.4多点已知值的微分方程问题 309

10.4.5浮动边值问题的重新求解  311

10.4.6基于框图的边值问题求解方法  312

10.4.7分数阶微分方程的边值问题 313

本章习题  314

第 11章偏微分方程入门 316

11.1扩散方程的数值求解  317

11.1.1一维扩散方程的数学形式与解析解  317

11.1.2扩散方程的离散化方法  318

11.1.3非齐次扩散方程  321

11.1.4高维扩散方程的数学形式  323

11.2几种特殊形式的偏微分方程  323

11.2.1偏微分方程的分类  323

11.2.2特征值型偏微分方程  325

11.2.3边界条件的分类  325

11.3典型二维偏微分方程求解界面 326

11.3.1偏微分方程求解程序概述  326

11.3.2偏微分方程几何区域绘制  327

11.3.3偏微分方程边界条件描述  328

11.3.4偏微分方程求解举例  329

11.3.5解的其他显示方法  330

11.3.6函数参数的偏微分方程求解 332

11.4一般偏微分方程的求解  333

11.4.1创建空白的偏微分方程对象模型  333

11.4.2几何区域的语句描述  333

11.4.3边界条件与初始条件描述  336

11.4.4偏微分方程的描述  337

11.4.5偏微分方程的数值求解  338

本章习题  343

参考文献 345

MATLAB函数名索引  350

术语索引 354